Tareas para realizar entre el 18 y el 22 de Mayo

Lunes 18

Hoy vamos a repasar las propiedades de las potencias del tema 2 para aplicarlas a continuación a funciones.

Escribe sin mirar (esto no es necesario que lo entregues) las fórmulas de las potencias que recuerdes (significado de potencia, potencia de exponente 1, potencia de exponente 0, producto y cociente de potencias de misma base/exponente, potencia de una potencia, potencia de exponente negativo, signo de una potencia de base negativa, potencias de fracciones y potencias de exponente fraccionario). A continuación revisa, corrige y completa lo que has escrito utilizando las páginas 30, 31 y 33 del libro.

Haz los siguientes ejercicios:

Martes 19

Hoy vamos a ver las funciones exponenciales, éstas son funciones con forma de potencia pero con la variable x en el exponente.

Cambiando el valor de a obtenemos diferentes ejemplos, hay una restricción a tiene que ser positiva y distinta de 1 (esto último porque si a=1, tenemos la función y=1).

Lee la página 222 y el ejemplo 1.

Todas estas funciones tienen esta forma:

Tienen una asíntota horizontal en el 0 (por la izquierda si a>1 y por la derecha si a<1). Todas pasan por el (0,1) y en el lado donde no está la asíntota la función crece muy rápido, de estas funciones viene el término “crecimiento exponencial”.

Por desgracia tenemos ejemplos de mucha actualidad de este tipo de funciones:

En el caso de la epidemia la exponencial solo ocurre al principio, antes o después evoluciona hacia otro tipo de función (bien porque se controla la pandemia como es el caso, bien porque las muertes y contagios hacen que no haya individuos disponibles para ser contagiados y la epidemia se ralentiza). Uno de los modelos que se utilizan es la función logística, que no vamos a estudiar pero que es interesante que veáis.

Otro ejemplo de crecimiento logístico es el desarrollo embrionario, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene.

Ejercicios 1, 4, 5 y 6. Para representar estas funciones basta con identificar dónde está la asíntota horizontal (a la derecha o a la izquierda), colocar el (0,1), poner un par de puntos más y dibujar.

Vais a hacer el ejercicio 8 de dos formas, la primera de forma similar a los anteriores (si no identificas bien donde está la asíntota, haz por ejemplo x=10 y calcula la y correspondiente, también lo puedes hacer para x=-10). Una vez hecho vais a utilizar las propiedades de las potencias para transformar la expresión en una de la forma “y igual a a elevado a x”.

Miércoles 20

Hoy vamos a ver funciones exponenciales “modificadas”, es decir, que son exponenciales como las de ayer pero con pequeños cambios, las tenéis en las páginas 224 y 225. Echadle un vistazo a la teoría de las páginas pero es más sencillo de lo que parece, se trata de exponenciales que se han desplazado a la derecha, izquierda, arriba o abajo, pero las características generales apenas cambian, tienen una asíntota horizontal por un lado (ahora no tiene por qué ser en el 0, pues la gráfica puede estar subida o bajada), al otro lado crecen muy rápido y no pasan necesariamente por el (0,1), pero le dais a x el valor 0 y calculáis en cada caso por donde va. Un par de puntos más y a dibujar. Es sencillo.

Ejercicios 9, 14 y 15.


Viernes 22

Hoy toca hacer problemas 64, 65 y 66 de la página 235, son más sencillos de lo que parecen, os doy algunas indicaciones para que sea algo más fácil:
En el 64 hay que dividir entre 4 varias veces, expresa dividir entre 4 como multiplicar por 1/4 y saldrá más fácil.
En el 65 se trata de multiplicar por 2 muchas veces.
Para el ejercicio 66 mirad la página 19. Podéis empezar poniendo un capital inicial de 1000€ y la función tiene una t en el exponente (que será la x) y la y será el capital final. En resumen, una exponencial. Luego quitáis los 1000€ y ponéis el capital inicial y está. Si os dais cuenta el interés compuesto es una función exponencial.

Para cualquier duda contacta con el profesor por ipasen o en el correo crabeloprofe@gmail.com. Cuando mandes las actividades, en el asunto no olvides poner que son las de la semana 9 (18 al 22 mayo). Gracias y feliz semana.

Tareas para realizar entre el 11 y el 15 de Mayo

Lunes 11

Hoy repasamos ecuaciones de segundo grado a través de las funciones polinómicas de segundo grado.

Una función polinómica de segundo grado es una función cuya expresión algebraica es un polinomio de segundo grado.

La forma de estas funciones es una parábola:

Las parábolas tienen un eje de simetría vertical (que no tiene por qué coincidir con el eje de la gráfica) y tienen un vértice que es el punto donde se cambia de crecimiento a decrecimiento o viceversa, es decir, un máximo o un mínimo. El eje de simetría pasa por el vértice.

La forma general es: y=ax²+bx+c. Como en ecuaciones de segundo grado b, c, o ambas pueden ser 0, pero a no puede ser 0 (si lo fuera sería una función polinómica de primer grado). El libro trata cada caso por separado, pero es un poco absurdo pues todos funcionan igual.

El signo de a determina si la parábola es abierta hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0).

Por último la coordenada x del vértice se puede obtener con la fórmula x=-b/2a. Una vez conocida la x, se sustituye en la función y obtenemos la y.

El procedimiento para representar estas funciones es:

1. Calcular las coordenadas del vértice (x=-b/2a, y=f(-b/2a))
2. Decidir si es un máximo (a<0) o un mínimo (a>0).
3. Calcular los puntos de corte con los ejes:
1. Eje vertical: (0, f(0)).
2. Eje horizontal: Haced f(x)=0, es decir, ax²+bx+c=0 y resolver la ecuación. Podemos obtener (como sabéis por ecuaciones) 0, 1 o 2 soluciones que serán los puntos de corte.
4. Construye una tabla con valores alrededor del vértice y representa esos valores, el vértice y los puntos de corte, con eso debe ser suficiente para representar la función.

Ejemplo: y=x²-5x+6.

1. Vértice: x=5/2=2’5. y=f(2’5)=2’5²-5·2’5+6=6’25-12’5+6=12’25-12’5=-0’25 (2’5, -0,25).
2. a=1>0, es un mínimo (la parábola se abre hacia arriba).
3. Puntos de corte:
1. Eje vertical: x=0, f(0)=0²-5·0+6=6 → (0,6)
2. Eje horizontal: x²-5x+6=0, se resuelve y obtenemos x=2 y x=3 → (2,0) y (3,0)
4. Tabla de valores:

x	2'5	0	2	3	1	4	5	6	-1
y	-0'25	6	0	0	2	2	6	12	12

Pues ver lo explicado arriba en este vídeo https://www.youtube.com/watch?v=J3qQWvxqFI4.

Ejercicios 17 y 18 de la página 207.

Martes 12

Hoy vamos con las funciones de proporcionalidad inversa que son un caso muy sencillo de funciones racionales. Si recordáis dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si su producto es constante: x·y=k, si despejamos la y=k/x.

Las características de estas funciones las tenéis en la página 208. La gráfica de todas ellas es similar.

En este vídeo las tenéis, hoy solo hasta el minuto 11: https://www.youtube.com/watch?v=hS_JzPc7Yx8

Ejercicios 19, 20 y 21 de la página 208.

Miércoles 13

Hoy vamos con las funciones racionales que además servirán para repasar las ecuaciones con fracciones algebraicas. Aunque una función racional es aquella cuya expresión algebraica es un cociente de polinomios, nos vamos a limitar a polinomios de grado 1.

Podéis ver el resto del vídeo de ayer: https://www.youtube.com/watch?v=hS_JzPc7Yx8.

Simplificando un poco la explicación del vídeo, como tenemos un polinomio de grado 1 en el denominador, habrá un valor donde el denominador sea 0, ese valor habrá que quitarlo del dominio y en ese punto habrá una asíntota vertical. Pongamos por ejemplo que es punto es el 3, 3 no está en el dominio, pero vamos a mirar a ver qué pasa cerca, en el 2’9 y 3’1, o 2’99 y 3’01, eso nos dará la información de cómo se relaciona la función con la asíntota. Para la asíntota horizontal, probar a calcular f(100), f(-100), o f(1000), f(-1000) y tendréis también la información.

Haz el ejercicio 28 y los apartados a) y c) de cada uno de los ejercicios 29, 30 y 31 de la página 211.

Viernes 15

Hoy vamos con los problemas. 92, 93, 94 y 95 de la página 217.

Haz el ejercicio 4 del “Debes saber hacer” de la página 217. Para hallar la intersección de dos funciones, es decir, en qué puntos se cortan, solo hay que resolver una ecuación. Por ejemplo: f(x)=x-2 y g(x)=2x-7, queremos ver cuándo f(x)=g(x), es decir, cuándo x-2=2x-7. Si resolvemos sale x=5, si calculamos f(5)=5-2=3, g(5)=10-7=3. Es decir, el punto (5,3) es común a ambas, es el punto de corte de las dos rectas (en este caso son rectas). En el ejercicio salen ecuaciones de segundo grado pero se hace igual.

Tareas para realizar entre el 5 y el 8 de Mayo

A partir de esta semana voy a ir proponiendo tareas que sirvan de repaso de temas anteriores, la idea es que sirvan para subir la nota de esos temas pero además para refrescar ideas que nos están haciendo falta para funciones.

Martes 5

Repasamos polinomios, ecuaciones y dominios.

Aquí tienes ejemplos resueltos de cálculo de dominios.

Y otros pocos más.

Calcula los dominios de las siguientes funciones racionales. Recuerda que no puede haber 0 en el denominador.




Miércoles 6

Repasamos polinomios, ecuaciones, inecuaciones y dominios.

Calcula los dominios de las siguientes funciones con radicales, recuerda que no puede haber números negativos dentro de las raíces de índice par.




Viernes 8

Repasamos funciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.

Lee las páginas 202 y 203, todo esto se ha visto en cursos anteriores, también en semanas anteriores así como cuando vimos los sistemas de ecuaciones. Pregunta las dudas por correo.

Haz el ejercicio 3 de la página 202, es muy sencillo, buscamos una expresión de la forma y=mx+n, hay que averiguar m y n, resulta que la m te la dan, luego solo falta la n, si pones el punto en la ecuación te queda una ecuación con una incógnita (n).

Haz los ejercicios 5 y 6 de la página 203, como sabes que son rectas con dos o tres puntos que representes para cada uno es suficiente. Para abreviar usa solo unos ejes para cada ejercicio.

Haz el ejercicio 7 de la página 203 (parecido al 3). En los apartados a) y f) sustituyes cada punto en y=mx+n y cada punto te da una ecuación, luego tienes un sistema. Usa el método de sistemas que prefieras, en este contexto el de igualación viene regalado.

Para cualquier duda, se puede contactar con el profesor en el correo electrónico crabeloprofe@gmail.com, por iPasen o Hangouts. Cuando mandes las actividades, en el asunto no olvides poner que son las de la semana 7 (5 al 8 mayo). Gracias y feliz semana.